Slavná Riemannova hypotéza: Milionový problém, který odolává matematikům už od roku 1859

Riemannova hypotéza patří k nejslavnějším nevyřešeným problémům matematiky. Už od roku 1859, kdy ji formuloval německý matematik Bernhard Riemann, se matematici snaží pochopit její tajemství. 

V roce 2000 ji Clayův matematický institut zařadil mezi sedm problémů tisíciletí, za jejichž vyřešení vypsal u každého odměnu milion dolarů. Riemanova hypotéza ale stále odolává. „Vypadá to, že se nic neděje,“ říká matematik Alex Kontorovich. A James Maynard z Oxfordu přiznává: „Nemám žádný dobrý nápad, jak začít.“

Riemannova hypotéza se točí kolem prvočísel, tedy čísel dělitelných pouze jedničkou a sebou samými. Jde o základní stavební kameny všech ostatních celých čísel, protože každé složené číslo lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel. Už Eukleidés dokázal, že prvočísel existuje nekonečně mnoho. Záhadou ale je, proč se na číselné ose objevují právě tam, kde se objevují.

Na první pohled působí téměř náhodně. Carl Friedrich Gauss si ale všiml, že prvočísla přece jen mají určitý řád. S narůstajícími čísly prvočísel ubývá a jejich rozmístění lze přibližně předpovědět.

Funkce těsně svázaná s prvočísly

Riemann se pokusil tento odhad zpřesnit pomocí matematického nástroje, kterému dnes říkáme Riemannova zeta funkce. Jde o podivnou funkci definovanou s komplexními čísly. V některých bodech její hodnota vychází přesně nula a právě tyto „nuly“ obsahují informace o rozmístění prvočísel. Každá z těchto nul jako by představovala jeden tón v obrovské symfonii prvočísel.

Riemann v roce 1859 vyslovil hypotézu, že všechny netriviální nuly, takové, které nelze snadno odvodit ze základního vzorce zeta funkce, leží na jediné svislé přímce v komplexní rovině, jejíž reálná část je přesně ½. Pokud je hypotéza pravdivá, výrazně omezuje možné uspořádání prvočísel. Její důkaz by proto nebyl pouhým vyřešením jedné abstraktní hádanky. Přinesl by hlubší pochopení samotné struktury čísel a měl by důsledky napříč matematikou, mimo jiné i pro kryptografii.

Pozoruhodné je, že Riemannova hypotéza už dnes ovlivňuje oblasti vědy vzdálené od teorie čísel. Objevily se souvislosti s energetickými hladinami atomových jader, náhodným pohybem částic, teorií chaosu nebo černými děrami.

Proč je tento problém tak nezdolný? Matematikům se podařilo ukázat, že nuly zeta funkce nemohou být od kritické svislé přímky příliš daleko, ale cestu k důkazu, že na ní leží všechny nuly, zatím nenašli. Je možné, že by její důkaz vyžadoval zcela novou matematiku.

„Myslím, že Riemannova hypotéza je pravdivá z nějakého opravdu dobrého důvodu,“ říká Maynard. „Jen vůbec netuším, jaký ten důvod je.“